Sunnuntaipähkinä 22: Perspektiivi

AB ja CD ovat peräkkäisiä poikkipuita junaradalla, jonka raiteet näyttävät yhtyvän horisontissa pisteessä O. Jos kaikki poikkipuut ovat yhdensuuntaisia horisontin kanssa ja niiden välinen etäisyys on vakio, miten seuraava poikkipuu saadaan pirrettyä perspektiivikuvaan?

Vihjeenä sen verran, että minkäänlaisia laskuja ei tarvita, vaan ongelman voi selvittää geometrisellä päätellyllä. Pähkinän ratkaisu paljastetaan ensi sunnuntaipähkinän yhteydessä.

Kiitos Futility Closet, via Chalkdust Magazine.

Kiitos kaikille viime sunnuntaipähkinään vastanneille ja kommentoineille. Oikeita ratkaisuja tulikin runsaasti. Ratkaisu: Ensimmäinen lukupari on 512 ja 1953125, ja toinen 262 144 ja 3 814 697 265 625.

Pähkinän ratkaisemiseksi pitää huomata, että luvun kymmenen tekijät ovat 2 ja 5. Toisin sanoen 10 = 2×5. Nyt voi edetä joko pilkkomalla luku 1 000 0000 000 kymmenten tuloksi tai, jos potenssien laskusäännöt ovat hallussa, kirjoittamalla luku 1 000 000 000 kymmenen potenssina. Koska tarkoitus on, että näiden pähkinöiden ratkominen ei jää matematiikan teknisestä osaamisesta kiinni, ratkaistaan tehtävä molemmilla tavoilla.

Aloitetaan kertolaskumenetelmästä. Ensinnäkin

1000 000 000 = 10×10×10×10×10×10×10×10×10.

Koska 10 = 2×5, ylläoleva tulo voidaan kirjoittaa

2×5×2×5×2×5×2×5×2×5×2×5×2×5×2×5×2×5.

Kertolaskunhan voi laskea missä järjestyksessä tahansa (matematiikan termein kertolasku on vaihdannainen eli kommutatiivinen), joten tulo voidaan järjestää uudelleen seuraavan näköiseksi:

2×2×2×2×2×2×2×2×2×5×5×5×5×5×5×5×5×5.

Tulo 2×2×2×2×2×2×2×2×2 = 512 ja 5×5×5×5×5×5×5×5×5 = 1953125.

Täten kertolasku 512 ×1953125 = 1000 0000 000 ja kysytyt luvut ovat 512 ja 1953125. Luvun 1 000 000 000 000 000 00 paloittelu tähän tapaan jätetään harjoitustehtäväksi.

Potenssien laskusäännöillä tehtävä hoituu selvästi näppärämmin. Koska

1000000000 = 10^9 = (2×5)^9 = 2^9×5^9 = 512×1953125,

kysytyt luvut ovat 512 ja 1953125.

Vastaavasti

1000000000000000000 = 10^18 = (2×5)^18 = 2^18×5^18 = 262144×3814697265625,

joten kysytyt luvut ovat 262 144 ja 3 814 697 265 625.

Kahta nollia sisältämätöntä tekijää ei kaikilla kymmenen potensseilla löydy. Vaatimuksena siis on, että sekä luvun 2 potenssi että luvun 5 vastaava potenssi ei sisällä nollia. Esimerkiksi pienin kahden potenssi, jonka arvo sisältää numeron 0, on 2^10 = 1024.

Jos intoa riittää, niin nykytekniikalla näiden lukujen etsiminen ei ole kovin suuritöistä.

IBM 1620, malli 1. Kuva: Wikimedia Commons.

IBM 1620, malli 1. Kuva: Wikimedia Commons.

Pienenä nostalgiatrippinä kerrottakoon, että Madachyn kirjan (julkaistu alunperin vuonna 1966) mukaan RAND Corporationissa työskennellyt Fred Gruenberger oli ohjelmoinut reikäkorttikäyttöisen IBM 1620 -tietokoneen laskemaan peräkkäisiä kahden potensseja ja tulostamaan ne, joissa ei esiintynyt nollia.

Luvun 2^86 = 77371252455336267181195264 jälkeen tällaisia lukuja ei enää löytynyt ja luvun 2^10535 kohdalla ohjelma oli pitänyt pysäytttää. Hienoja aikoja.

En onnistunut tätä varten selvittämään, onko joku jo todistanut, että nollattomilla kahden potensseilla on jokin yläraja. Jos joku tietää aiheesta enemmän, ota ihmeessä yhteyttä tai jaa tietosi kommenteissa.

 

Artikkelikuva: CC-BY-4.0, Terra Cognita.

 

 

 

4 Comments

    1. Juha Pietiläinen

      Mahtavaa, kiitos. Tällä koodilla voi alkaa louhia. Tietysti mikään ei takaa, että jostain supertähtitieteellisistä suuruusluokista ei löydy jotakin vastaesimerkkiä.

  1. Jere Salomaa

    Piirretään horisonttiin H apupiste, samalle linjalle pisteiden B ja C kanssa. Seuraavan poikkipuun alkupiste, on samalla linjalla apupisteen ja pisteen D kanssa.

  2. Pingback: Sunnuntaipähkinä 26: Riskillä vai varman päälle? » parasta suomenkielistä tietokirjallisuutta

gratis Receptpligtig rabatkort 1apotekonline.com Nook color 8gb tablet

Kirjaudu

create an account

Tämä sivusto käyttää evästeitä (cookies). Käyttämällä palvelua hyväksyt evästeiden käytön. Lue lisää

Käytämme evästeitä sivuillamme toimivuuden parantamiseksi. Evästeet on mahdollista kytkeä pois käytöstä, mutta tällöin sivuston toimivuus heikentyy.

Sulje