fbpx
0
Pähkinät

Sunnuntaipähkinä 17: Hattuongelma

By 13.3.20166 marraskuun, 2019One Comment

Hattupähkinät ovat mukava ongelmatyyppi. Niissä tuntuu aluksi olevan liian vähän informaatiota ongelman ratkaisemiseksi, mutta jippo on kuvitella itsensä eri henkilöiden asemaan.
Usein hattuongelmissa on onnettomia neitosia peikon tai jonkin mun pahansuovan hahmon vankina. Kaikkien satujen pahisten tapaan näiden heikkoutena on tarjota omahyväisesti nokkelille sankareille pieni mahdollisuus selviytyä. Niin myös tämän sunnuntain pähkinässä, joka on seuraava:
Peikko pitää kolmea neitosta vankinaan. Varmana omasta nokkeluudestaan se tarjoaa neidoille mahdollisuuden päästä vapaaksi, jos he pystyvät ratkaisemaan sen antaman tehtävän.
Peikko asettaa neitoset jonoon vanhimmasta nuorimpaan siten, että kukin voi nähdä vain nuoremmat siskonsa. Sitten peikko sitoo neitojen silmät ja sanoo: “Minulla on kolme sinistä ja kaksi punaista hattua. Laitan kunkin päähän jonkin niistä. Jos yksi teistä osaa kertoa oman hattunsa värin, päästän teidät kaikki vapaaksi.”
Peikko avaa siteen vanhimman neidon silmiltä. Hän katsoo eteenpäin, katsoo siskojensa hattuja, pohtii asiaa ja toteaa lopulta: “En tiedä hattuni väriä.”
Peikko poistaa siteen keskimmäisen neidon silmiltä. Hän katsoo nuorimman siskon hattua ja aikansa mietittyään sanoo: “En tiedä hattuni väriä.”
Lopulta peikko poistaa siteen nuorimman neidon silmiltä. Hän ei näe siskojaan eikä heidän hattujaan. Neito pohtii ja sanoo lopulta: “Tiedän hattuni värin.”
Minkä värinen hänen hattunsa on? Miten hän sai sen selville?
Arvoitus on nykyään matemaattista kansanperinnettä, enkä tunne ongelman alkuperää. Jos jollakin on parempaa tietoa, kertokaa vaikka kommenteissa. Tällä kertaa lähteenä on Dan Finkelin blogi Math for Love -sivustolla.
Viime sunnuntaipähkinän ratkaisu: Pähkinän ratkaisun avain on ajatella junien liikettä suhteessa toisiinsa. Voidaan ajatella, että asemalta A lähtevän junan keula lähenee asemalta B lähtevän junan keulaa nopeudella 40 km/h + 25 km/h = 65 km/h. Tällä nopeudella junien väliseen 130 kilometrin matkaan kuluu 2 tuntia.
Kärpänen ehtii siis lentää kaksi tuntia junien välissä ennen törmäystä. Koska kärpäsen nopeus on 100 km/h, kärpänen ehtii lentää kahdessa tunnissa 200 kilometrin matkan.
Ongelman voi tietysti ratkaista myös raa’alla voimalla kehittämällä kärpäsen lennosta päättymättömän geometrisen sarjan, jonka summan voi laskea tunnetulla kaavalla.
Tästä pähkinästä kerrotaan hauskaa anekdoottia, joka on mitä ilmeisimmin tosi. Kun 1900-luvun kenties tärkeimmälle matemaatikolle John von Neumannille oli esitetty ongelma tai sen muunnelma, hän oli antanut vastauksen kuin apteekin hyllyltä. Pähkinän esittäjä olli arvellut von Neumannin tunteneen ongelman jujun ennalta, jolloin von Neumann oli kysynyt, että mikä olisi yksinkertaisempaa kuin geometrisen sarjan summan laskeminen. Helppous on näkökulmakysymys.

Juha Pietiläinen

Author Juha Pietiläinen

More posts by Juha Pietiläinen