fbpx
0
Pähkinät

Sunnuntaipähkinä 10: Viininlitkijät

By 24.1.20166 marraskuun, 20198 Comments

Tänä sunnuntaina siirrytään antiikin Roomasta 1500-luvulle. Tarkemmin sanottuna vuoteen 1540, jolloin matemaatikko Gemma Frisius julkaisi kirjassaan Arithmeticae practicae methodus facilis seuraavan ongelman:
Mies juo yksinään tynnyrillisen viiniä 20 päivässä. Jos hän juo viinitynnyrin vaimonsa kanssa, se kestää vain 14 päivää. Kuinka kauan tällä vauhdilla kestää, jos vaimo tyhjentää tynnyrin yksin?
Ongelman poimin David Eugene Smithin teoksesta History of Mathematics, Volume 2 (1958). Ongelman ratkaisu paljastetaan ensi viikon pähkinän yhteydessä.
Viime sunnuntaipähkinän ratkaisu näyttää nopeasti ajatellen olevan kyllä. Shakkilaudassa on 8 kertaa 8 eli 64 ruutua. Kun vastakkaisista nurkista kaksi poistetaan ruudut, ruutuja on 62, jotka pitäisi voida päälystää 31 dominonappulalla.
Tehtävä on kuitenkin mahdoton. Dominonappula peittää aina kaksi vierekkäistä ruutua. Koska vierekkäiset ruudut ovat aina eriväriset, dominonappula peittää aina mustan ja valkoisen ruudun.
Koska vastakkaisissa nurkissa olevat ruudut ovat samanväriset, leikellylle  laudalle jää 32 mustaa (tai valkoisia) ja 30 valkoista (tai mustaa) ruutua. Vaikka dominot järjestää miten tahansa, kaksi samanväristä ruutua jää aina paljaaksi.

Juha Pietiläinen

Author Juha Pietiläinen

More posts by Juha Pietiläinen

Join the discussion 8 Comments

  • Väärä Nimi sanoo:

    46.6

  • Iiskotti sanoo:

    46,666… päivää, siis 46 päivää 16 tuntia.
    Roomalaisen perinnönjakoon (pähkinä 8) heittäisin kolmannen vaihtoehdon. Jos olisin pesänjakaja, käsittelisin näin: Perintö ositetaan ensin kahteen yhtä suureen kasaan (3/6 + 3/6). Sitten toimitetaan jako kummankin kasan osalta erikseen, toinen jaetaan “pojan säännöillä” ja toiseen “tytön säännöillä”. Näin tulee toisesta kasasta 1/3 äidille ja 2/3 pojalle, ja toisesta 2/3 äidille ja 1/3 tytölle. Eli loppujako 3/6 äidille, 2/6 pojalle ja 1/6 tytölle.

    • Juha Pietiläinen sanoo:

      Kiitos kommentista. Hauska idea.

  • Iiskotti sanoo:

    Äiti on mukana kummassakin osajaossa. Voi kysyä, onko tämä kaksosten kannalta tasapuolista ja (Salvianus Julianuksen jakolaskelmasta päätellen) edes perinnönjättäjän tahdon mukaista. Asetelma voidaan reivata lisälaskelmalla: äidin osuus 3/6 jaetaan kahtia (3/12 ja 3/12), ja toisesta puolikkaasta 2/3 siirretään pojalle ja 1/3 tytölle. Tämän jälkeen osuudet olisivat: poika 4/12+2/12 = 6/12, tyttö 2/12+1/12 = 3/12, ja äiti 3/12. Mustaa magiaa vai logiikkaa, vastausta ei “oikeaa”. : – )

  • Iiskotti sanoo:

    Hieno tehtävä, johon kestää vieläkin palata. Vaikka (algoritmisesti) “oikeaa” vastausta ei ole, on ääretön määrä “ilmeisen vääriä” vastauksia (mm. Salvianus Julianuksen nimiin merkitty vastaus on nähdäkseni ilmeisen väärä). Ovatko kaikki vastaukset vääriä, eli tehtävänä on etsiä vähiten väärä vastaus? Vai, kun yhtä “oikeaa” vastausta ei ole, tehtävänä on löytää järjellisiä vaihtoehtoja ja niistä päätellä “eniten oikea” vastaus? Oli miten oli: Eniten oikea on vastaus, joka on parhaiten perusteltavissa annettuja ehtoja (testamentin määräyksiä) soveltamalla.
    Yksikään tähän asti nähdyistä ratkaisuista ei annettuja ehtoja kliinisesti soveltamalla ole “eniten oikea”:
    – Salvianus Julianuksen jaossa 4:2:1 äidin osuus (1/7 osaa) ei ole mitenkään perusteltavissa. On ilmeistä, että Salvianus on käyttänyt sellaistakin jakokriteeriä joka ei annetuissa ehdoissa ole kerrottu.
    – 15 osan jako 8:5:2 on Salvianuksen jakoa parempi. Jakosuhde on kuitenkin vain osittain (äiti) johdettu ehdoista. Kritiikille altis on tytön osuus 2/15, jolla ei ole yhteyttä ehtoihin. Niitä soveltaen äidin ja tytön osuuksien suhde ei saane olla ainakaan suurempi kuin 2:1, tässä jaossa se on 5:2.
    – Iiskotin ensimmäinen jako (3:2:1, äiti ensimmäisenä) lähtee “kahden poolin” ideasta; äiti-pooli ja lapsi-pooli, ja kun lapsia syntyikin kaksi, heidät molemmat on sijoitettu lapsi-pooliin. Idean moderniudesta voi olla mitä mieltä tahansa, mutta ehdoista idea ei saa tukea.
    – Iiskotin toisen jaon (2:1:1) ongelma on äidiltä siirrettävä 3/12 osuus. Ei riitä, että se ositetaan lasten kesken, johdonmukaisesti katsoen olisi perusteltua osittaa se kaikkien kolmen kesken. Mikä on ositussuhde?
    Annetuista ehdoista johdettu ositussuhde on koko tehtävän avainkysymys.
    Ennen synnytystä ehtojen mukaiset odotusarvot olivat: poika 2/3 ja tyttö 1/3. Äidin odotusarvo oli joko 1/3 (poikalapsi) tai 2/3 (tyttölapsi). Synnytyksen jälkeen olikin käsillä tilanne jota ei ollut ennakoitu: perintöä jakamassa on kahden sijasta kolme perillistä. Odotusarvot toimivat nyt seuraavasti: pojan odotusarvopositio on edelleen 2/3 ja tytön 1/3. Äidin odotusarvopositio on alkuperäisten vaihtoehtojen keskiarvo (1/3+2/3):2 = 1/2. Odotusarvopositiot määrittävät perillisten keskinäisen suhteen, ja jakosuhde johdetaan niistä. Transponointi 1/1 per odotusarvopositiot yhteensä (3/2), siis kertoimella 2/3.
    Jako-osuudet: poika 2/3×2/3 = 4/9, äiti 2/3×1/2=2/6 = 3/9, tyttö 2/3×1/3 = 2/9, jakosuhde: poika 4, äiti 3, tyttö 2.

  • Iiskotti sanoo:

    Oikeaa ratkaisua ei ole, siinä tehtävän magia. Kun selitetään perinnönjättäjän tarkoittaeen, että poika saa 2 kertaa niin paljon kuin äiti ja äiti 2 kertaa niin paljon kuin tyttö, Salvianus Julianuksen 4:2:1 onkin kohdallaan. Pojalle 4 osaa, äidille 2 osaa ja tytölle 1 osa.