fbpx
0
Pähkinät

Sunnuntaipähkinä 21: Kertolaskuongelma

By 10.4.20167 marraskuun, 20197 Comments

Minkä kahden nollia sisältämättömän kokonaisluvun tulo on 1 000 000 000? Toisin sanoen mitkä kaksi nollia sisältämätöntä kokonaislukua toisillaan kerrottuna tuottaa luvun 1 000 000 000?
Jos osasit ratkaista edellisen tehtävän, osaatko selvittää minkä kahden nollia sisältämättömän kokonaisluvun tulo on 1 000 000 000 000 000 000?
Pähkinä on napattu Joseph S. Madachyn kirjasta Madachy’s Mathematical Recreations (Dover, 1979).


Viime sunnuntaipähkinän ratkaisu: Pähkinä jakaa ratkaisijat kahteen leiriin, puolikkaan kannattajiin ja kolmasosan kannattajiin.
Puolen kannattajat ovat sitä mieltä, että vastaus on puoli. Kolikko on reilu ja siksi kruunan todennäköisyys on puoli. Prinsessa Ruusunen ei saa herätessään uutta informaatiota lantin heitosta. Täten hänen varmuuden asteensa eli subjektiivisen todennäköisyytensä, että heiton tuloksena tuli kruuna, on oltava puoli.
Kolmasosan kannattajien mielestä varmuuden asteen tulee olla yksi kolmasosa. Ruususen näkökulmasta hänen herätessään on on kolme eri mahdollisuutta, eikä hän voi erottaa niitä toisistaan. Toisin sanoen heiton tulos voi olla 1) klaava ja on maanantai, 2) kruuna ja on maanantai tai 3) klaava ja on tiistai. Ruususen näkökulmasta kaikki mahdollisuudet ovat yhtä todennäköisiä, joten varmuuden asteen heiton tuloksesta kruuna tulee olla yksi kolmasosa.
Quanta Magazinen ongelmapalstalla ratkaisuja verrataan Neckerin kuutioksi kutsuttuun optiseen illuusioon, jossa kuution voi nähdä monella eri tavalla.
400px-Necker_cube.svg
Vataavasti kuin Neckerin kuutiossa, pähkinän ratkaisun voi nähdä kahdella tavalla, eikä näkökulman vaihtaminen välttämättä onnistu.
512px-Cube1.svg     512px-Cube2.svg
Itse asiassa eri kannat ovat kuitenkin vastauksia hieman eri kysymyksiin. Puolikkaan kannattajat vastaavat kysymykseen: “Mikä on Ruususen varmuuden aste, että lantin heiton tulos oli klaava?” Kolmasosan kannattajat sen sijaan vastaavat kysymykseen: “Mikä on Ruususen varmuuden aste heräämisen hetkellä, että lantin heiton tulos oli klaava?”
Erona voi pitää näkökulmaa, jonka ratkaisijat valitsevat. Puolikkaan kannattajat ottavat kokeen tekijän näkökulman ja kolmasosan kannattajat Ruususen subjektiivisen näkökulman.
Osaltaan hämäryys johtuu tehtävän asettelusta arkikielellä. Jos tilanne määritellään matemaattisemmin ja täsmällisemmin, ongelmia ei synny ja kaikki matemaatikot päätyvät samalle kannalle.
Toisaalta saattaa olla, että Prinsessa Ruususen ongelman tämä versio kuvastaa eroja myös ihmisten luonteissa ja syvällisissä taipumuksissa tarkastella maailmaa.

Kuvat Wikimedia Commons.

Juha Pietiläinen

Author Juha Pietiläinen

More posts by Juha Pietiläinen

Join the discussion 7 Comments

  • R:n Survo-paketilla nuo selviävät näin:
    1000000000(10:factors)=2^9*5^9
    1000000000000000000(10:factors)=2^18*5
    PS. Kiitos lukuisista loistavista kirjoista!

    • jatkokokeilutäydennys (en tunne ao. kirjaa, mutta olisiko siinä jotain tämänsuuntaista):
      Tarkastellaan annettuja lukuja ajatellen ne binääriluvuiksi:
      1000000000000000000(2:factors)=2^18
      2^18=262144
      1000000000000000000(2:10)=262144
      ja vastaavasti
      1000000000(10:factors)=2^9*5^9
      1000000000(2:10)=512
      2^9=512
      – Kimmo

      • En voinut vastustaa kiusausta:
        10(10:factors).=2*5
        100(10:factors).=2^2*5^2
        1000(10:factors).=2^3*5^3
        10000(10:factors).=2^4*5^4
        100000(10:factors).=2^5*5^5
        1000000(10:factors).=2^6*5^6
        10000000(10:factors).=2^7*5^7
        100000000(10:factors).=2^8*5^8
        1000000000(10:factors).=2^9*5^9
        10000000000(10:factors).=2^10*5^10
        100000000000(10:factors).=2^11*5^11
        1000000000000(10:factors).=2^12*5^12
        10000000000000(10:factors).=2^13*5^13
        100000000000000(10:factors).=2^14*5^14
        1000000000000000(10:factors).=2^15*5
        10000000000000000(10:factors).=2^16*5
        100000000000000000(10:factors).=2^17*5
        1000000000000000000(10:factors).=2^18*5
        10000000000000000000(10:factors).=2^19*5
        100000000000000000000(10:factors).=2^20*5
        1000000000000000000000(10:factors).=2^21*5
        10000000000000000000000(10:factors).=2^22*5
        100000000000000000000000(10:factors).=2^23*5
        1000000000000000000000000(10:factors).=2^24*5
        10000000000000000000000000(10:factors).=2^25*5
        100000000000000000000000000(10:factors).=2^26*5
        1000000000000000000000000000(10:factors).=2^27*5
        10000000000000000000000000000(10:factors).=2^28*5
        100000000000000000000000000000(10:factors).=2^29*5
        1000000000000000000000000000000(10:factors).=2^30*5
        10000000000000000000000000000000(10:factors).=2^31*5
        100000000000000000000000000000000(10:factors).=2^32*5
        1000000000000000000000000000000000(10:factors).=2^33*5
        10000000000000000000000000000000000(10:factors).=2^34*5
        100000000000000000000000000000000000(10:factors).=2^35*5
        1000000000000000000000000000000000000(10:factors).=2^36*5
        10000000000000000000000000000000000000(10:factors).=2^37*5
        100000000000000000000000000000000000000(10:factors).=2^38*5
        1000000000000000000000000000000000000000(10:factors).=2^39*5
        10000000000000000000000000000000000000000(10:factors).=2^40*5
        100000000000000000000000000000000000000000(10:factors).=2^41*5
        1000000000000000000000000000000000000000000(10:factors).=2^42*5
        10000000000000000000000000000000000000000000(10:factors).=2^43*5
        100000000000000000000000000000000000000000000(10:factors).=2^44*5
        1000000000000000000000000000000000000000000000(10:factors).=2^45*5
        10000000000000000000000000000000000000000000000(10:factors).=2^46*5
        100000000000000000000000000000000000000000000000(10:factors).=2^47*5
        1000000000000000000000000000000000000000000000000(10:factors).=2^48*5
        10000000000000000000000000000000000000000000000000(10:factors).=2^49*5
        100000000000000000000000000000000000000000000000000(10:factors).=2^50*5

      • Juha Pietiläinen sanoo:

        Morjens Kimmo, pahoittelut myöhäisestä vastauksesta. Tuolla tyylillä tässä kirjassa ei ongelmaan tartuta. Kirjassa kyllä vähän laajennetaan kysymyksestä. Referoin huomisessa pähkinässä 🙂
        –Juha

  • Aapo sanoo:

    En voinut vastustaa kiusausta:
    10^n = (2*5)^n = 2^n*5^n , kun n€N
    Ps. Euromerkki, koska puhelin..

  • Kimmo Vehkalahti sanoo:

    ÄSH, meni epähuomiossa vähän överiksi nuo laskukaavioni:
    suuremmilla tarkkuuksilla laskemista ei olekaan vielä
    toteutettu Survo R:ssä ja siksi “tulokset” hieman outoja.
    (Ei pitäisi innostua su-pähkinöistä ma puolella!) 🙂
    Ratkaisuhan tuohon pähkinään on lopulta elegantisti
    pääteltävissä potenssien peruslaskusäännöistä, kuten
    Aapo edellä näyttää.