Viime sunnuntaipähkinän ratkaisu:

Teksti ja kuvat julkaistu Creative Commons CC-BY-4.0 -lisenssillä.
Kuvassa käytetty kolikko Wikimedia Commons.

The post Sunnuntaipähkinä 35: Ohjukset appeared first on Terra Cognita.

Viime sunnuntaipähkinän ratkaisu: Voittoa tuli 2 euroa.
Toiset päättelevät, että kauppias tekee ensin euron voittoa, sitten euron tappiota ja jälleen euron voittoa, minkä jälkeen kauppias on nollilla. Lopulta myymällä tavaran kauppias tekee euron voittoa, mikä on hänen lopullinen voittonsa.
Toiset taas päättelevät, että kauppias tekeen ensin euron voittoa, mutta tekee sitten kaksi euroa tappiota ostamalla tavaran, josta maksoi alunperin 7 euroa. Tässä vaiheessa kauppias olisi siis euron tappiolla. Hän saa euronsa takaisin myymällä tavaran kymmenellä eurolla ja jää lopulta nollille.
Molemmat päättelyt ovat vääriä.
Oikean vastauksen voi päätellä vaikkapa kirjanpitäjän logiikalla seuraavasti. Kauppias käyttää rahaa yhteensä 7 € + 9 € = 16 € (menot). Kauppiaan myynnistä saamat tulot ovat 8 € + 10 € = 18 €. Voitto on tulojen ja menojen erotus, joten voitoksi saadaan 2€ .

Kuva: Kevin Utting, Crane Gears, CC-BY-2.0

The post Sunnuntaipähkinä 31: Insinöörilogiikkaa appeared first on Terra Cognita.

Viime sunnuntaipähkinän ratkaisu: 1260 päivän päästä.
Seuraavaan yhteiseen elokuvatuokioon kuluvan ajan on oltava jaollinen luvuilla 4, 5, 7 ja 9. Koska luvuilla ei ole yhteisiä tekijöitä, pienin ehdon täyttävä luku on se, jolla on tekijöinään kaikki nämä luvut. Toisin sanoen ratkaisu on 4 × 5 × 7 × 9 = 1260 päivää.
Yhdysvaltojen itäosissa elävät magicicada-suvun kaskaita on kahdentyyppisiä: Lajeja, jotka nousevat sankoin joukon – miljoonittain – maan pinnalle parittelemaan 17 vuoden välein, ja lajeja, jotka nousevat vastaavasti maan pinnalle13 vuoden välein.
Luvut 13 ja 17 ovat alkulukuja, joten niillä ei ole yhteisiä tekijöitä. Edellä esitetyn logiikan takia kaskaslajit päätyvät parveilemaan samanaikaisesti melko harvoin, 13 × 17 = 221 vuoden välein. On esitetty, että kaskaat parittelevat tällaisissa sykleissä, jotta ne eivät päätyisi parittelemaan toistensa kanssa.
Alla olevassa BBC:n videoleikkeessä matemaatikko Marcus du Sautoy todistaa kolmetoistavuotiskaskaiden parittelua ja kertoo toisen, kenties paremman vaihtoehdon sille, mitä järkeä tällaisessa valtavassa joukkotoiminnassa voi olla.

Artikkelikuva: Wikimedia Commons.

The post Sunnuntaipähkinä 30: Kuinka paljon voittoa? appeared first on Terra Cognita.

Viime sunnuntaipähkinän ratkaisu: Peilin pitää olla puolet katsojan pituudesta. Nähdääkseen itsensä kokonaan katsojan on nähtävä varpaansa sekä päänsä korkeimmasta kohdasta lähtevät valonsäteet. Toisin sanoen varpaista ja päästä lähtevien valonsäteiden on kuljettava peiln kautta katsojan silmiin.

Valon heijastumislaista seuraa, että valonsäteet osuvat peiliin korkeudella, joka on puolimatkassa varpaista tai päästä silmiin. Täten pienin riittävä peilin pituus on puolet katsojan pituudesta.

Kuva heijastumisesta: CC-BY-4.0, Terra Cognita. Kuvan gentlemanni British Library, Flickr.

The post Sunnuntaipähkinä 29: Lintsarit elokuvissa appeared first on Terra Cognita.

Edellisen sunnuntaipähkinän ratkaisu: Aloitetaan kääntämällä kumpikin tiimalasi. Annetaan neljän minuutin tiimalasin valua loppuun ja käännetään se uudelleen. Kun seitsemän minuutin tiimalasi on tyhjä, neljän minuutin tiimalasissa on minuutti jäljellä.
Tässä kohtaa käännetään seitsemän minuutin tiimalasi ja annetaan sen valua kunnes nejän minuutin tiimalasi on tyhjä. Aikaa on nyt kulunut kahdeksan minuuttia. Seitsemän minuutin tiimalasi on ehtinyt valua minuutin, joten käännnetään se ympäri ja annetaan valua puuttuva minuutti.

Kuvalähde: British Library, Flickr.

The post Sunnuntaipähkinä 28: Peili appeared first on Terra Cognita.

Viime sunnuntaipähkinän pohdintaa:
Vaihtoehtoina kummassakin tilanteessa on olla joko varmasti 1500 euroa nykyistä tilaansa rikkaampi tai pelata uhkapeliä, jonka seurauksena on joko 1000 euroa tai 2000 euroa nykytilaansa rikkaampi.
Daniel Bernoullin vuonna 1735 esittämän rahan psykologista arvoa mittaavan utiliteettiteorian mukaan valintatilanteilla ei ole eroa. Kummassakin tilanteessa valintatilanteissa rahojen utiliteetti on sama, varallisuutesi lisääntyy saman verran.
Kuitenkin, jos olet kuten suurin osa ihmisistä, valitsit ensimmäisessä tilanteeessa varman asian ja jälkimmäisessä suosit uhkapeliä. Ensimmäisessä tilanteessa 1500 euron saaminen tuntuu ilmeiseltä voitolta, kun jälkimmäisessä tilanteessa se tuntuu tappiolta.
Kiinnititkö huomiota alun tuhannen tai kahdentuhannen euron lahjaan? Jos olet kuin valtaosa ihmisistä, et ihmeemmin. Valintoihin kuitenkin vaikuttaa se ratkaisevasti se, mikä on valintatilanteiden viitepiste eli se aikaisempi tila, jonka suhteen voitot ja tappiot arvioidaan. Emme useinkaan tiedosta tätä.
Asenteemme voittoihin ja tappioihin perustuu siihen, että yleisesti inhoamme enemmän häviämistä kuin tavoittelemme voittoa.
Daniel Kahneman ja Amos Tversky tunnistivat nämä inhimillisen käyttäytymisen piirteet ja rakensivat niiden pohjalta prospektiteoriansa, joka kuvaa kvantitatiivisesti tilastollisia taipumuksiamme riskeä sisältävissä valintatilanteissa. Heille myönnettiin prospektiteoriasta taloustieteen Nobelin muistopalkinto. Teoria on kuvattu ykistyiskohtaisemmin ja paremmin Kahnemanin kirjassa Ajattelu nopeasti ja hitaasti.

Ylläoleva kuva tiivistää prospektiteorian kolme olennaista periaatetta. Akselien leikkauspisteessä on valintatilanteen viitepiste. Pystyakseli kuvaa voittojen ja tappioiden psykologista arvoa.
Olennaiset piirteet:

• Vähenevä herkkyys voitoille ja tappioille. sadan dollarin subjektiivinen arvo on paljon suurempi välillä 0-100 dollaria kuin välillä 100-200 dollaria. Tästä seuraa käyrän S-kirjaimen muoto.
• Käyrä ei ole symmetrinen viitepisteen (origon suhteen). Tappioiden subjektiivinen tuska on paljon suurempi kuin vastaavien voittojen arvo. Tästä syystä käyrä on paljon jyrkempi origon vasemmalla kuin oikealla puolella.

On mielenkiintoinen kysymys mistä tällainen käyttäytymispiirre on peräisin. Pähkinän valintatilanteessa kyse on vain rahasta ja valinnan seuraukset ovat selvästi hallittavia, eikä taipumuksesta näytä olevan hyötyä.
Evolutiivisessa historiassa suuri osa valintatilanteista on tuskin kuitenkaan ollut tällaisia. Usein todellisen maailman riskit ovat sellaista lajia, että voitot ovat jotakin pientä, mutta tappiot suuria ja peruuttamattomia. Riskianalyytikko Nassim Talebin esimerkin mukaan on merkityksetöntä, noukkiiko höyryjyrän edestä kolikoita vai seteleitä. Toisin sanoen kaiken riskeeraaminen edes suurehkojen voittojen edessä ei ole kestävä strategia.
Kenties riskejä välttelevä käyttäytymisemme on peräisin evolutiivisesta historiastamme, jossa se on estänyt esi-isiämme riskeeraamasta henkeään ja näin pitänyt heidät hengissä.

Prospektiteoriaa kuvaava kuva: Daniel Kahneman, Ajattelu nopeasti ja hitaasti.
Artikkelikuvan lähde: Johann Zoffany – Selected work 24 from Self Portrait: Renaissance to Contemporary (Anthony Bond, Joanna Woodall, ISBN 978-1855143579)., Public Domain.

The post Sunnuntaipähkinä 27: Tiimalasit appeared first on Terra Cognita.

1. Sen lisäksi mitä tällä hetkellä omistat, sinulle on annettu 1000 euroa. Nyt sinua pyydetään valitsemaan toinen suraavista vaihtoehdoista: JOKO 50 % mahdollisuus voittaa 1000 euroa TAI saada 500 euroa varmasti.
2. Sen lisäksi mitä tällä hetkellä omistat, sinulle on annettu 2000 euroa. Nyt sinua pyydetään valitsemaan toinen seuraavista vaihtoehdoista: JOKO 50 % mahdollisuus hävitä 1000 euroa TAI menettää 500 euroa varmasti.

Miten valitsit tilanteissa 1 ja 2? Osaatko laskea valinnoille 1 ja 2 odotusarvon? Onko tilanteilla 1 ja 2 loogista eroa?

Viime sunnuntaipähkinän ratkaisu: Aloitetaan piirtämällä suora pisteiden B ja C kautta. Merkitään suoran leikkauspistettä horisontin kanssa kirjaimella P.

Piirretään suora pisteestä D pisteeseen P. Merkitään suoran ja vasemmanpuoleisen raiteen leikauspistettä kirjaimella E.

Piirretään pisteestä E poikkipuiden AB ja CD kanssa yhdensuuntainen poikkipuu EF.

Tehtävä suoritettu.
Perspektiivin käyttö taiteessa on itse asiassa projektiiviseksi geometriaksi kutstutun matematiikan alan soveltamista. Se sai ensitahtinsa Renessanssi-Europpassa ja synnytti valtavan muutoksen varhaisempaan keskiaikaiseen taiteeseen verrattuna.

Perspektiivin käyttöä 1400-luvulta.

Ensimmäisen tutkielman lineaarisen perspektiivin käytöstä julkaisi ensimmäisenä italialainen arkitehti Leon Battista Alberti teoksessaan Maalaamisesta (De Pictura) vuonna1435. Teoksessaan Alberti analysoi kuvataiteiteissa käytetyt teknikat systemaattisesti geometrian avulla. Teoksessa kuvataan muun muassa lineaarisen perspektiivin matemaattiset perusteet.

Lineaarinen perspektiivi De Picturasta. Näyttää tutulta.

Nykyään projektiivinen geometria on keskeisessä osassa tietokonepelien ohjelmoinnissa, kun pelien kolmiulotteinen maailma pitää saada projisoitua näytön kaksiulotteiselle tasolle. Projektiivisella geometrialla on merkittäviä sovelluksia myös esimerkiksi koodausteoriassa ja kryptografiassa.

Ratkaisun kuvat CC-BY-4.0, Terra Cognita.
De Pictura, lähde.
Keskiaikainen perspektiivi, lähde.

The post Sunnuntaipähkinä 26: Riskillä vai varman päälle? appeared first on Terra Cognita.

Kiitos kaikille viime sunnuntaipähkinään vastanneille ja kommentoineille. Oikeita ratkaisuja tulikin runsaasti. Ratkaisu: Ensimmäinen lukupari on 512 ja 1953125, ja toinen 262 144 ja 3 814 697 265 625.
Pähkinän ratkaisemiseksi pitää huomata, että luvun kymmenen tekijät ovat 2 ja 5. Toisin sanoen 10 = 2×5. Nyt voi edetä joko pilkkomalla luku 1 000 0000 000 kymmenten tuloksi tai, jos potenssien laskusäännöt ovat hallussa, kirjoittamalla luku 1 000 000 000 kymmenen potenssina. Koska tarkoitus on, että näiden pähkinöiden ratkominen ei jää matematiikan teknisestä osaamisesta kiinni, ratkaistaan tehtävä molemmilla tavoilla.
Aloitetaan kertolaskumenetelmästä. Ensinnäkin
1000 000 000 = 10×10×10×10×10×10×10×10×10.
Koska 10 = 2×5, ylläoleva tulo voidaan kirjoittaa
2×5×2×5×2×5×2×5×2×5×2×5×2×5×2×5×2×5.
Kertolaskunhan voi laskea missä järjestyksessä tahansa (matematiikan termein kertolasku on vaihdannainen eli kommutatiivinen), joten tulo voidaan järjestää uudelleen seuraavan näköiseksi:
2×2×2×2×2×2×2×2×2×5×5×5×5×5×5×5×5×5.
Tulo 2×2×2×2×2×2×2×2×2 = 512 ja 5×5×5×5×5×5×5×5×5 = 1953125.
Täten kertolasku 512 ×1953125 = 1000 0000 000 ja kysytyt luvut ovat 512 ja 1953125. Luvun 1 000 000 000 000 000 00 paloittelu tähän tapaan jätetään harjoitustehtäväksi.
Potenssien laskusäännöillä tehtävä hoituu selvästi näppärämmin. Koska
,
kysytyt luvut ovat 512 ja 1953125.
Vastaavasti

,
joten kysytyt luvut ovat 262 144 ja 3 814 697 265 625.
Kahta nollia sisältämätöntä tekijää ei kaikilla kymmenen potensseilla löydy. Vaatimuksena siis on, että sekä luvun 2 potenssi että luvun 5 vastaava potenssi ei sisällä nollia. Esimerkiksi pienin kahden potenssi, jonka arvo sisältää numeron 0, on .
Jos intoa riittää, niin nykytekniikalla näiden lukujen etsiminen ei ole kovin suuritöistä.

IBM 1620, malli 1. Kuva: Wikimedia Commons.

Pienenä nostalgiatrippinä kerrottakoon, että Madachyn kirjan (julkaistu alunperin vuonna 1966) mukaan RAND Corporationissa työskennellyt Fred Gruenberger oli ohjelmoinut reikäkorttikäyttöisen IBM 1620 -tietokoneen laskemaan peräkkäisiä kahden potensseja ja tulostamaan ne, joissa ei esiintynyt nollia.
Luvun jälkeen tällaisia lukuja ei enää löytynyt ja luvun kohdalla ohjelma oli pitänyt pysäytttää. Hienoja aikoja.
En onnistunut tätä varten selvittämään, onko joku jo todistanut, että nollattomilla kahden potensseilla on jokin yläraja. Jos joku tietää aiheesta enemmän, ota ihmeessä yhteyttä tai jaa tietosi kommenteissa.

Artikkelikuva: CC-BY-4.0, Terra Cognita.

The post Sunnuntaipähkinä 22: Perspektiivi appeared first on Terra Cognita.

Viime sunnuntaipähkinän ratkaisu: Pähkinä jakaa ratkaisijat kahteen leiriin, puolikkaan kannattajiin ja kolmasosan kannattajiin.
Puolen kannattajat ovat sitä mieltä, että vastaus on puoli. Kolikko on reilu ja siksi kruunan todennäköisyys on puoli. Prinsessa Ruusunen ei saa herätessään uutta informaatiota lantin heitosta. Täten hänen varmuuden asteensa eli subjektiivisen todennäköisyytensä, että heiton tuloksena tuli kruuna, on oltava puoli.
Kolmasosan kannattajien mielestä varmuuden asteen tulee olla yksi kolmasosa. Ruususen näkökulmasta hänen herätessään on on kolme eri mahdollisuutta, eikä hän voi erottaa niitä toisistaan. Toisin sanoen heiton tulos voi olla 1) klaava ja on maanantai, 2) kruuna ja on maanantai tai 3) klaava ja on tiistai. Ruususen näkökulmasta kaikki mahdollisuudet ovat yhtä todennäköisiä, joten varmuuden asteen heiton tuloksesta kruuna tulee olla yksi kolmasosa.
Quanta Magazinen ongelmapalstalla ratkaisuja verrataan Neckerin kuutioksi kutsuttuun optiseen illuusioon, jossa kuution voi nähdä monella eri tavalla.

Vataavasti kuin Neckerin kuutiossa, pähkinän ratkaisun voi nähdä kahdella tavalla, eikä näkökulman vaihtaminen välttämättä onnistu.
    
Itse asiassa eri kannat ovat kuitenkin vastauksia hieman eri kysymyksiin. Puolikkaan kannattajat vastaavat kysymykseen: ”Mikä on Ruususen varmuuden aste, että lantin heiton tulos oli klaava?” Kolmasosan kannattajat sen sijaan vastaavat kysymykseen: ”Mikä on Ruususen varmuuden aste heräämisen hetkellä, että lantin heiton tulos oli klaava?”
Erona voi pitää näkökulmaa, jonka ratkaisijat valitsevat. Puolikkaan kannattajat ottavat kokeen tekijän näkökulman ja kolmasosan kannattajat Ruususen subjektiivisen näkökulman.
Osaltaan hämäryys johtuu tehtävän asettelusta arkikielellä. Jos tilanne määritellään matemaattisemmin ja täsmällisemmin, ongelmia ei synny ja kaikki matemaatikot päätyvät samalle kannalle.
Toisaalta saattaa olla, että Prinsessa Ruususen ongelman tämä versio kuvastaa eroja myös ihmisten luonteissa ja syvällisissä taipumuksissa tarkastella maailmaa.

Kuvat Wikimedia Commons.

The post Sunnuntaipähkinä 21: Kertolaskuongelma appeared first on Terra Cognita.

Viime sunnuntaipähkinän ratkaisu: Suurin mahdollinen luku päälimmäisessä kuutiossa on 118.
Kunkin keskimmäisessä kerroksessa olevan kuution luvut saadaan laskemalla yhteen kuvassa punaisella ympyrällä merkittyjen kuutioiden luvut.

Kuvasta huomataan, että keskimmäisen kuution luku päätyy summaan peräti neljä kertaa. Siitä on tehtävä mahdollisimman suuri. Lisäksi sivujen keskellä olevien kuutioiden luvut päätyvät summaan kaksi kertaa. Nurkissa olevat luvut lasketaan summaan vain kerran. Nurkkiin sijoitetaan siis pienimmät luvut (1, 2, 3 ja 4).
Aloitetaan numeroimalla nurkat mahdollismman pienillä luvuilla. Jatketaan numeroimalla sivujen keskellä olevat kuutiot (5, 6, 7 ja 8).

Koska reunoilla olevien lukujen summa 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 36, keskimmäiseen kuutioon tuleva luku on 50 – 36 = 14. Tämän suurempaa lukua keskimmäiseen kuutioon ei voida saada.
Lasketaan keskimmäisen kerroksen kuutioiden luvut (kuvassa punaisissa ympyröissä).

Päälimmäisen kuution luku saadaan laskemalla summa 26 + 28 + 31 + 33 = 118. Tämä on suurin luku, joka kuutiossa voi olla.

Valokuva: Hans Splinter, Balance.
Artikkelin kuvat: CC-BY-4.0, Terra Cognita.

The post Sunnuntaipähkinä 19: Väärennetty kolikko appeared first on Terra Cognita.